Wenn du Bitcoin besitzt, liegt dein Vermögen nicht in einem Tresor, nicht auf einem Server – und auch nicht als Datei auf deinem Handy. Dein Besitz besteht aus Mathematik: einer speziellen Gleichung, einer Kurve, einem Punkt. Genauer gesagt: aus der elliptischen Kurve secp256k1, die Bitcoin verwendet, um Eigentum kryptografisch abzusichern.
Das klingt abstrakt, aber es ist genau dieser Mechanismus, der Bitcoin zu einem der sichersten digitalen Systeme der Welt macht. Wer ihn versteht, versteht auch, warum niemand deine Satoshis stehlen kann – solange du deinen privaten Schlüssel schützt.
Jede Bitcoin-Wallet besteht aus zwei Dingen: einem privaten und einem öffentlichen Schlüssel. Der private Schlüssel ist eine zufällig gewählte Zahl – groß, einzigartig und geheim. Daraus lässt sich ein öffentlicher Schlüssel berechnen, aus dem wiederum deine Bitcoin-Adresse entsteht.
Diese Berechnungen laufen über eine elliptische Kurve. Sie ist so konstruiert, dass man aus dem privaten Schlüssel leicht den öffentlichen Schlüssel berechnen kann – aber nicht umgekehrt. Genau diese Eigenschaft macht das System sicher. Man nennt das eine Einwegfunktion: ein Rechenweg, der nur in eine Richtung funktioniert.
ECC (Elliptic Curve Cryptography) ist das Rückgrat der kryptografischen Sicherheit in Bitcoin. Um zu verstehen, warum das so ist, hilft ein Blick in die Grundlagen der Verschlüsselung: Es gibt zwei grundsätzliche Arten kryptografischer Verfahren – symmetrische und asymmetrische.
Symmetrische Systeme arbeiten mit einem einzigen Schlüssel: Derselbe Schlüssel verschlüsselt und entschlüsselt Informationen. Das funktioniert gut in kleinen, geschlossenen Systemen – ist aber ungeeignet, wenn man Milliarden Menschen ein dezentrales, vertrauensfreies Geldsystem bieten will.
Hier kommt asymmetrische Kryptografie ins Spiel – und damit auch ECC. "Asymmetrisch" bedeutet: Es gibt zwei Schlüssel, die zusammengehören, aber unterschiedliche Rollen haben. Einen privaten Schlüssel, der geheim bleibt und Transaktionen signieren kann. Und einen öffentlichen Schlüssel, den jeder sehen darf und der zur Überprüfung dieser Signaturen dient. Genau dieses Prinzip ermöglicht es bei Bitcoin, Eigentum zu sichern, ohne zentrale Instanzen oder Passwörter – allein durch Mathematik.
Die elliptische Kurve, die Bitcoin verwendet, heißt secp256k1. Ihre Gleichung lautet: y² = x³ + 7
Natürlich spielt sich das Ganze nicht auf einem normalen Koordinatensystem ab, wie man es aus dem Schulunterricht kennt. Denn bei Bitcoin geht es nicht um unendliche Zahlenräume, sondern um konkrete, begrenzte Werte. Man rechnet über einem sogenannten endlichen Körper. Das heißt: Es gibt einen genau definierten Zahlenraum, in dem alle Berechnungen stattfinden – vergleichbar mit einem Spielfeld mit klaren Regeln. Alles, was außerhalb dieses Bereichs liegt, wird zurückgeführt. So entstehen verlässliche, wiederholbare Ergebnisse.
Innerhalb dieses Systems arbeitet Bitcoin mit einer speziellen Kurve – genauer gesagt: mit der elliptischen Kurve secp256k1. Auf ihr ist eine besondere Operation definiert, die sogenannte Punktaddition. Dabei werden zwei Punkte auf der Kurve miteinander „addiert“ – allerdings nicht wie beim normalen Rechnen, sondern durch eine geometrische Vorschrift. Der dabei entstehende dritte Punkt liegt ebenfalls auf der Kurve.
Wenn man einen Punkt mehrfach mit sich selbst addiert, spricht man von Punktmultiplikation. Und genau das ist der Kern: Mit dieser Operation lässt sich aus einem privaten Schlüssel (also einer großen Zufallszahl) ein öffentlicher Schlüssel erzeugen:
privater Schlüssel × Generatorpunkt = öffentlicher Schlüssel
Dabei wird ein weltweit einheitlich definierter Startpunkt – der sogenannte Generatorpunkt G – verwendet. Seine Koordinaten sind festgelegt und für alle gleich. Das ist entscheidend: Nur so können alle Teilnehmer im Bitcoin-System dieselben Rechenwege nachvollziehen und die Korrektheit überprüfen.
Bei Bitcoin liegt dieser Punkt bei den Koordinaten
x = 0x79be667ef9dcbbac55a06295ce870b07029bfcdb2dce28d959f2815b16f81798
y = 0x483ada7726a3c4655da4fbfc0e1108a8fd17b448a68554199c47d08ffb10d4b8
Wenn du eine Transaktion im Bitcoin-Netzwerk machst, unterschreibst du sie digital. Das funktioniert mit deinem privaten Schlüssel – ohne dass du ihn selbst preisgeben musst. Die Signatur wird an die Transaktion angehängt. Jeder Teilnehmer im Netzwerk kann anschließend überprüfen, ob die Signatur gültig ist und ob sie zum öffentlichen Schlüssel passt.
So entsteht ein System, in dem niemand Vertrauen braucht – sondern nur Mathematik. Deine Satoshis gehören dir nicht, weil du sie irgendwo gespeichert hast, sondern weil nur du sie signieren kannst. Und das lässt sich jederzeit öffentlich überprüfen.
Die Sicherheit elliptischer Kurven basiert auf einem faszinierenden Prinzip – dem sogenannten diskreten Logarithmusproblem. Stell dir vor, jemand springt mit einem Fallschirm aus einem Flugzeug: Du kannst genau beobachten, wo er landet – aber du weißt nicht, aus welcher Höhe, von welchem Punkt und in welche Richtung er ursprünglich gesprungen ist.
Der Weg nach unten ist eindeutig nachvollziehbar, der Weg zurück ist jedoch nahezu unmöglich zu rekonstruieren. Genau das beschreibt eine sogenannte Einwegfunktion: Die Berechnung vom privaten zum öffentlichen Schlüssel ist einfach – der umgekehrte Weg jedoch praktisch unmöglich. Diese Asymmetrie macht ECC so mächtig – und damit Bitcoin so sicher.
Damit gehört ECC (Elliptic Curve Cryptography) zur Familie der asymmetrischen Kryptosysteme – wie auch RSA (Rivest-Shamir-Adleman), das auf der Zerlegung großer Zahlen in ihre Primfaktoren basiert. Während RSA für vergleichbare Sicherheit Schlüssel mit über 3.000 Bit benötigt, kommt ECC mit deutlich kürzeren Schlüsseln aus: Bitcoin verwendet 256 Bit – und erreicht damit ein ähnlich hohes, wenn nicht höheres Sicherheitsniveau.
Konkret funktioniert ECC, indem es fragt: Mit welchem Faktor k wurde ein bekannter Punkt auf der Kurve multipliziert, um einen anderen Punkt zu erhalten? Diese Frage lässt sich mit heutiger Technik nicht effizient beantworten – und genau das macht sie zur „Falltürfunktion“. Für Bitcoin bedeutet das: hohe Sicherheit, geringe Rechenlast, gute Skalierbarkeit. Und genau das ist essenziell für ein globales, dezentrales Peer-to-Peer-Geldsystem.
Bitcoin zeigt, was passiert, wenn man Eigentum nicht über Menschen oder Institutionen absichert – sondern über Mathematik. Die elliptische Kurve secp256k1 ist dabei keine Nebensache, sondern die Grundlage des gesamten Systems.
Sie ermöglicht digitale Unterschriften, ist das Rückgrat der Public- und Private-Key-Kryptographie bei Bitcoin – und schützt dein Vermögen mit einer eleganten Idee: Einwegfunktionen, die niemand zurückdrehen kann. (Asymmetrische Kryptografie wurde zwar bereits durch RSA etabliert, aber erst ECC macht sie effizient genug für Anwendungen wie Bitcoin.)
Wenn du Bitcoin besitzt, besitzt du am Ende vor allem eins: den Schlüssel zu einem Punkt auf einer Kurve – und damit die Kontrolle über dein digitales Vermögen. Und solange du diesen Schlüssel für dich behältst, kann dir niemand dein Eigentum nehmen.
Wenn dich das Thema tiefer interessiert, lohnt sich ein Blick auf die Blogreihe von Andrea Corbellini (2015). Er erklärt Punktaddition und Punktmultiplikation auf elliptischen Kurven visuell und interaktiv – ideal für ein ruhiges Wochenende. Auch Shiftcrypto hat spannende Inhalte dazu, insbesondere im Zusammenhang mit dem Anti-Klepto-Protokoll, das noch eine weitere Sicherheitsebene beim Signieren bringt.
Part 1: Elliptic Curve Cryptography: a gentle introduction
Part 2: Elliptic Curve Cryptography: finite fields and discrete logarithms
Part 3: Elliptic Curve Cryptography: ECDH and ECDSA
Part 4: Elliptic Curve Cryptography: breaking security and a comparison with RSA
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